Exponentielle complexe

Définition

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ , on note ${\text{e}}^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$ .

Remarque

On écrit aussi ${\text{e}}^{i\theta }=\exp (i\theta )$ .

Exemples

On a les égalités suivantes :

${\text{e}}^{0i}=\cos (0)+i\sin (0)=1$

${\text{e}}^{i\pi }=\cos (\pi )+i\sin (\pi )=-1$ et on en déduit la célèbre identité d'Euler : ${\text{e}}^{i\pi }+1=0$

${\text{e}}^{2i\pi }=\cos (2\pi )+i\sin (2\pi )=1$

${\text{e}}^{i\frac{\pi }{2}}=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=i$  

${\text{e}}^{\frac{3i\pi }{2}}=\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=-i$  

${\text{e}}^{i\frac{\pi }{4}}=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$e^{\frac{2i\pi }{3}}=\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$